Question

15．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=AB，E是DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、BE，點(diǎn)F、G、H分別是AE、AB、BE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)GF、GH，求證：四邊形GHEF為矩形．

Answer 1

分析 連接EG，根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理得到四邊形GHEF為平行四邊形，根據(jù)直角三角形的判定定理得到∠AEB=90°，根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論．

解答 證明：連接EG，
∵點(diǎn)F、G分別是AE、AB的中點(diǎn)，
∴GF∥BE，
同理，GH∥AE，
∴四邊形GHEF為平行四邊形，
∵E是DC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，
∴GE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），又AD+BC=AB，
∴GE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠AEB=90°，
∴四邊形GHEF為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是梯形的性質(zhì)、矩形的判定和三角形中位線定理以及梯形的中位線定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定定理、三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．