Question

3．如圖，正比例函數y₁=mx（m＞0）的圖象與反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于點A（n，4）和點B，AC⊥y軸，垂足為M，△ACB的面積為8．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）求正比例函數與反比例函數的解析式；
（3）當y₁＞y₂時，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先根據反比例函數與正比例函數的圖象特征，可知A、B兩點關于原點對稱，則O為線段AB的中點，故△BOC的面積等于△AOC的面積，都等于2，然后由反比例函數的比例系數k的幾何意義，可知△AOC的面積等于 $\frac{1}{2}$|k|，從而求出k的值，即得到這個反比例函數的解析式，于是得到結論；
（2）正比例函數和反比例函數圖象上點的坐標特征即可得到結論；
（3）由圖象即可得到結論．

解答 解：∵反比例函數與正比例函數的圖象相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關于原點對稱，
∴OA=OB，
∴△BOC的面積=△AOC的面積=8÷2=4，
又∵A是反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$圖象上的點，且AC⊥y軸于點C，
∴△AOC的面積=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=4，
∵k＞0，
∴k=8，
故這個反比例函數的解析式為 y=$\frac{8}{x}$，
∵A（n，4），
∴A（2，4），
∵A、B兩點關于原點對稱，
∴B（-2，-4）；

（2）∵正比例函數y₁=mx（m＞0）的圖象與反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于點A（2，4），
∴m=2，
∴正比例函數的解析式是y=2x，反比例函數的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（3）由圖象知當y₁＞y₂時，x的取值范圍是-2＜x＜0或x＞2．

點評 本題主要考查了三角形一邊上的中線將三角形的面積二等分及反比例函數的比例系數k的幾何意義：反比例函數圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系，即S=$\frac{1}{2}$|k|．