Question

13．如圖，已知AB是⊙O的弦，OA=4，∠A=30°，C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求弦AB的長；
（2）當(dāng)∠D=15°時，求∠AOD的度數(shù)；
（3）當(dāng)BC的長度為多少時，以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，然后根據(jù)題目中的條件可以找出求弦AB需要的條件，即可解答本題；
（2）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的內(nèi)角的和，可以求得∠AOD的度數(shù)；
（3）根據(jù)題目中的信息，要使△DBC與△AOC相似，通過圖形和已知條件，找出三角形相似的條件即可求得BC的長度，本題得以解決．

解答 解：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE=BE=$\frac{1}{2}AB$，∠OEB=90°，如圖所示，
∵OA=4，∠A=30°，
∴AE=OA•cos∠A=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$；
（2）連接OB，
∵OA=OB，OB=OD，
∴∠ABO=∠A，∠DBO=∠D，
∴∠DBA=∠ABO+∠DBO=∠A+∠D，
又∵∠A=30°，∠D=15°，
∴∠DBA=45°，
∴∠AOD=2∠DBA=90°；
（3）∵∠ACO=∠DBC+∠D，
∴∠ACO＞∠DBC，∠ACO＞∠D，
∴要使△DBC與△AOC相似，只能∠DCB=∠ACO=90°，
∵∠A=30°，此時∠AOC=60°，∠AOD=120°，
∴∠DBC=60°，
∵∠DBC=∠AOC，
∴△DBC∽△AOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴BC=$\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$，
∴當(dāng)BC的長度為$2\sqrt{3}$時，以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、三角形相似，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的條件．