Question

5．如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（-8，0），（-5，0），（0，-8），點P，E分別從點A，B同時出發(fā)沿x軸正方向運動，同時點D從點C出發(fā)沿y軸正方向運動．以PD，PE為鄰邊構造平行四邊形EPDF，已知點P，D的一點速度均為每秒2個單位，點E的運動速度為每秒1個單位，運動時間為t秒．
（1）當0＜t＜3時，PE=3-t（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）記平行四邊形的面積為S，當S=12時，求t的值；
（3）如圖2，當0＜t＜4時，過點P的作拋物線y=ax²+bx+c交x軸于另一點為H（點H在點P的右側），若PH=6，且該二次函數(shù)的最大值不變均為$\frac{9}{4}$．
①當t=2時，試判斷點F是否恰好落在拋物線y=ax²+bx+c上？并說明理由；
②若點D關于直線EF的對稱點Q恰好落在拋物線y=ax²+bx+c，請直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出OP及OE的長度，即可求得PE的長度；
（2）根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，以PE為底，OD為高，即可解答；
（3）根據(jù)點P的坐標，PH=6，求出點H的坐標，然后求出拋物線的頂點坐標，用含t的式子表示出函數(shù)的解析式；
①求出當t=2時，點B，E，D，F(xiàn)的坐標，將點F的橫坐標代入解析式，看求出的y的值是否與點F的縱坐標相等，即可判斷；
②根據(jù)對稱，求出點Q的坐標，將點Q的坐標代入拋物線，即可求出t的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得：OP=8-2t，OE=5-t，
∴PE=OP-OE=（8-2t）-（5-t）=3-t；
故答案為：3-t；
（2）當0＜t＜3時，
根據(jù)題意，得：OD=8-2t，
∴S=（3-t）（8-2t）=2t²-14t+24，
當S=12時，2t²-14t+24=12，解得：t₁=1，t₂=6；
當t=3時，點P與點E重合，不能圍成平行四邊形；
當t＞3時，根據(jù)題意，得：PE=5-t-8+2t=t-3，OD=8-2t，
∴S=（t-3）（8-2t）=-2t²+14t-24，
當S=12時，-2t²+14t-24=12，解得：t₁=-2（不合題意，舍去），t₂=9，
綜上所述，當S=12時，求t的值為1或6或9；
（3）當0＜t＜4時，點P（2t-8，0），
∵PH=6，
∴點H（2t-2，0），
∴拋物線對稱軸為：x=$\frac{2t-8+2t-2}{2}=2t-5$，
設拋物線解析式為：$y=a（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$，
根據(jù)點P（2t-8，0）在拋物線上，可得：$a（2t-8-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}=0$，解得：a=$-\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為：y=$-\frac{1}{4}（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$；
①當t=2時，PE=3-t=3-2=1，點D的縱坐標為2t-8，即點D（0，-4），
根據(jù)四邊形PEFD是平行四邊形，可得：DF=PE=1，
∴點F（1，-4），
當x=1時，y=$-\frac{1}{4}×（1-4+5）^{2}+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$，
∴點F不在拋物線y=$-\frac{1}{4}（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$上；
②t的值為1或$\frac{35}{9}$．
如圖，
作點D關于EF的對稱點點Q，連接QG，QF，
∵OP=OD，
∴∠ODP=45°，
∴∠FGD=45°，即△DGF是等腰直角三角形，
易證四邊形FDGQ是正方形，
∴點Q（3-t，t-5），
根據(jù)點Q在拋物線上，可得：$-\frac{1}{4}（3-t-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}=t-5$，
解得：t₁=1，t₂=$\frac{35}{9}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，前兩個小題比較簡單，第三小題，能用含t的式子表示出函數(shù)的解析式是解決①②小題的關鍵；第②小題中，根據(jù)點D對稱的點Q與點F，G正好圍成一個正方形，是解決第②小題的一個突破點．