Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BO以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至O時(shí)，點(diǎn)N也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P是MN的中點(diǎn)，連接BP，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)剛好停止時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）；
（2）試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上；
（3）當(dāng)0＜t＜4時(shí)，設(shè)四邊形ABPM的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPM的面積為11？

Answer 1

分析 （1）由時(shí)間=路程÷速度，可得出當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)的時(shí)間，結(jié)合N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)P作PC⊥x軸交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，用含t的代數(shù)式表示出來MO和NO，由P為MN的中點(diǎn)得出PC、PD為△MON的中位線，從而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，令P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即可算出P在y軸上時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）線段BN和MN將△AOB分成了三部分，除了四邊形ABPM外還有兩個(gè)三角形，用△AOB的面積減去兩個(gè)小三角形的面積即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，令S=11，結(jié)合0＜t＜4即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0），
∴AO=5，BO=8．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)剛好停止時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=5÷1=5，
此時(shí)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程為2×5=10，10-8=2，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）．
故答案為：（2，0）．
（2）過點(diǎn)P作PC⊥x軸交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵AM=t，BN=2t，AO=5，BO=8，
∴MO=5-t，NO=8-2t，
∵P為MN的中點(diǎn)，
∴PD、PC均為△OMN的中位線，
∴PD=4-t，PC=$\frac{5-t}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t-4，$\frac{5-t}{2}$）．
令t-4=0，解得：t=4，
∴當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P在y軸上．
（3）由題意可知：
S=$\frac{1}{2}$BO•AO-$\frac{1}{2}$MO•NO-$\frac{1}{2}$BN•PC，
=$\frac{1}{2}$×5×8-$\frac{1}{2}$×（5-t）×（8-2t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{5-t}{2}$×2t，
=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t，
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t（0＜t＜4）．
令S=11，即-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t=11，
解得：t=2，或t=11（舍去），
∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形ABPM的面積為11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）算出停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間；（2）利用中位線的性質(zhì)找出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分割三角形AOB．本題屬于中檔題，難度不大，（1）較簡(jiǎn)單；（2）初中沒有學(xué)到中點(diǎn)坐標(biāo)，但是在日常做題中常常用到，此處如果用中點(diǎn)坐標(biāo)公式會(huì)更簡(jiǎn)潔一些；（3）分割圖形求面積是我們求不規(guī)則圖形面積時(shí)常用到的手段，在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)分割圖形求面積的練習(xí)．