Question

8．如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為M．D在y軸上，OB=OD=3，OA=5．
（1）試用含a的式子表示點M的坐標；
（2）若S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$；
①求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
②如圖2，將△BOD繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤180°）得到△B′OD′，直線AD與BC相交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由線段長度，確定點A，B坐標代入y=ax²+bx+c即可用a表示拋物線，運用頂點公式即可求出點M坐標；
（2）①用a表示△ABC與△ACM的面積，根據(jù)題意列方程求解即可；
②根據(jù)題意分析出：以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時，Q的縱坐標最大，當AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時，Q的縱坐標最小，
分別求解即可，求解時，先確定切點坐標，求出兩條直線解析式，聯(lián)立直線解方程組求出y的值即可．

解答 解：（1）由OB=OD=3，OA=5可得，
點A（-5，0），B（3，0），D（0，5），
設拋物線的解析式為y=a（x-3）×（x+5），
整理得：y=ax²+2ax-15a，
所以頂點M（-1，-16a）；
（2）如圖1

過點M作MN⊥x軸，垂足為N，交直線AC于點H，
y=ax²+2ax-15a，令x=0，解得：y=-15a，
所以：C（0，-15a）
設直線AC解析式為：y=mx+n，
由A（-5，0），C（0，-15a），坐標可得，$\left\{\begin{array}{l}{0=-5m+n}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3a}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
所以直線AC：y=-3ax-15a，
由M（-1，-16a），可得，
點H（-1，-12a），
所以MH=-16a-（-12a）=-4a，
所以：S_△ACM=$\frac{1}{2}×MH×（{x}_{C}-{x}_{A}）$=$\frac{1}{2}×（-4a）×5$=-10a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×OC$=-60a，
由S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，
所以：拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+5$；
②如圖2

以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時，Q的縱坐標最大，
此時，易求點D′的坐標為（-$\frac{9}{5}，\frac{12}{5}$），點A（-5，0）；點B′（$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用兩點法可求直線AD′解析式為：y=$\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$，
直線B′C的解析式為：$y=-\frac{4}{3}x+5$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得y=$\frac{21}{5}$，
如圖3

以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時，Q的縱坐標最小，
此時易求點D′（$-\frac{9}{5}$，$-\frac{12}{5}$），點A（-5，0）；點B′（-$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用兩點法可求直線AD′解析式為：$y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$，
直線B′C的解析式為：$y=\frac{4}{3}x+5$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得：y=$-\frac{3}{5}$．
所以：點Q縱坐標的取值范圍為：$-\frac{3}{5}$≤y≤$\frac{21}{5}$．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用已知點求解析式，會根據(jù)點的坐標表示三角形面積，會運用圓的知識分析解決旋轉(zhuǎn)的相關(guān)問題是解題的關(guān)鍵．