Question

9．已知等邊△ABC，點E是AB上一點，AE=3，點D在AC的延長線上，∠ABD+∠BCE=120°，tan∠D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則CD=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作∠BCD平分線交BD于F，可得∠BCF=∠DCF=∠A=60°，再根據(jù)∠ABD+∠BCE=120°可得∠FBC=∠ECA，即可證△FBC≌△ECA，從而得AE=CF=3，過點F作FG⊥CD于點G，由∠DCF度數(shù)可求得CG、FG的長，由tan∠D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得DG，即可得答案．

解答 解：如圖，作∠BCD平分線交BD于F，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACD=120°，
∴∠BCF=∠A=60°，
又∵∠ABD+∠BCE=120°，即∠ABC+∠FBC+∠BCE=120°，
∴∠FBC+∠BCE=60°，
∵∠ECA+∠BCE=∠ACB=60°，
∴∠FBC=∠ECA，
在△FBC和△ECA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FBC=∠ECA}\\{BC=CA}\\{∠BCF=∠A}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ECA（ASA），
∴AE=CF=3，
過點F作FG⊥CD于點G，
∴CG=CFcos∠FCD=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
FG=CFsin∠FCD=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又∵tanD=$\frac{FG}{DG}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DG=$\frac{FG}{tanD}$=3，
∴CD=CG+DG=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，由∠ABD+∠BCE=120°得出∠FBC=∠ECA，從而聯(lián)想到作角平分線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．