Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以AC為斜邊作Rt△ACC₁，使∠CAC₁=30°，Rt△ACC₁的面積為S₁；再以AC₁為斜邊作△AC₁C₂，使∠C₁AC₂=30°，Rt△AC₁C₂的面積記為S₂，…，以此類推，則S_n=$\frac{{3}^{n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 首先計(jì)算得出△ABC₁的面積，進(jìn)一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt△AC₁C₂和Rt△AC₂C₃的面積，找出規(guī)律得出結(jié)論．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=2$\sqrt{3}$，
在△ABC₁中，
∵∠CAC₁=30°，
∴CC₁═$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=∠CAC₁，∠ACB=∠AC₁C=90°，
∴△ACB∽△AC₁C，
∴$\frac{{S}_{△AC{C}_{1}}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{C{C}_{1}}{CB}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
∴S₁=$\frac{3}{4}$•S_△ABC，同理可得，S₂=$\frac{3}{4}$•S₁=（$\frac{3}{4}$）²•S_△ABC，S₃=（$\frac{3}{4}$）³•S_△ABC，…
根據(jù)此規(guī)律可得，S_n=（$\frac{3}{4}$）ⁿ•S_△ABC=$\frac{{3}^{n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$，
故答案為$\frac{{3}^{\\;n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查勾股定理、含30°角直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，規(guī)律型題目，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究方法，學(xué)會(huì)找規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．