Question

14．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過點(diǎn)A作AF∥BC，且AF=$\frac{1}{2}$BC，連接BF、BF，線段BF與AD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：E是AD的中點(diǎn)；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先連接DF，判定四邊形ABDF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出DE=AE即可；
（2）先判定四邊形ADCF是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得出AD=CD，最后判斷四邊形ADCF是菱形．

解答 （1）連接DF，
∵AD是BC邊上的中線，
∴DB=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DB=AF，
又∵AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DE=AE
即E是AD的中點(diǎn)；
（2）四邊形ADCF是菱形．
∵AD是BC邊上的中線，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DC=AF，
又∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
又∵AB⊥AC，AD是BC邊上的中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴四邊形ADCF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形的是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形的是菱形．