Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-4，3），C（0，3），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤l80°）得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′、直線B′C′，分別與直線BC相交于P，Q．在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，若BP=$\frac{1}{2}$BQ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{9}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，3）或（-$\frac{7}{8}$，3）．

Answer 1

分析 分兩種情況：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)；構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得PC的長，進(jìn)一步求得坐標(biāo)．

解答 解：過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=$\frac{1}{2}$PQ•OC，S_△POQ=$\frac{1}{2}$OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，
∵BP=$\frac{1}{2}$BQ，
∴BQ=2x，
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（4+x）²+3²=（3x）²，
解得x₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，x₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{4}$（不符實(shí)際，舍去）．
∴PC=BC+BP=$\frac{9}{2}$+$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
∴P₁（-$\frac{9}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，3）．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=4-x．
在Rt△PCO中，（4-x）²+3²=x²，
解得x=$\frac{25}{8}$．
∴PC=BC-BP=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴P₂（-$\frac{7}{8}$，3）．
綜上可知，點(diǎn)P₁（-$\frac{9}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，3），P₂（-$\frac{7}{8}$，3）使BP=$\frac{1}{2}$BQ．
故答案為：（-$\frac{9}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，3）或（-$\frac{7}{8}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了坐標(biāo)與圖形的變化---旋轉(zhuǎn)，特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對(duì)應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．