Question

20．如圖，將Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C放在坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)直角邊分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸重合，已知AC=2，AB=4，將Rt△ABC按如圖所示的方式依次繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)三次旋轉(zhuǎn)分別經(jīng)歷圖①②③種情形，把這三次的旋轉(zhuǎn)叫做一次變換．
（1）線段AB在從原圖到圖①的過(guò)程中掃過(guò)的圖形的面積是$\frac{16}{3}$π，在一次變換過(guò)程中頂點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路程是$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π．
（2）經(jīng)過(guò)n次變換后，點(diǎn)B移動(dòng)到B_3n的位置，求點(diǎn)B_3n的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)扇形面積計(jì)算公式以及弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先判斷經(jīng)過(guò)一次變換點(diǎn)B向右平移的距離，再求得經(jīng)過(guò)n次變換后，B_3n的坐標(biāo)．

解答 解：（1）線段AB在從原圖到圖①的過(guò)程中掃過(guò)的圖形是一個(gè)半徑為4，圓心角為120°的扇形，
∴其面積為$\frac{120}{360}$×π×16=$\frac{16}{3}$π，
在一次變換過(guò)程中頂點(diǎn)B經(jīng)過(guò)兩段弧，第一段是圓心角為120°，半徑為4的圓弧，第二段是圓心角為90°，半徑為2$\sqrt{3}$的圓弧，
∴點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路程是$\frac{120π×4}{180}$+$\frac{90π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π．
故答案為：$\frac{16}{3}$π，$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π；

（2）∵經(jīng)過(guò)一次變換點(diǎn)B向右平移（2+4+$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$）個(gè)單位長(zhǎng)度，即（6+2$\sqrt{3}$）個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴經(jīng)過(guò)n次變換后，B_3n（6n+2$\sqrt{3}$n，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題以旋轉(zhuǎn)變換為背景，主要考查了勾股定理、扇形面積計(jì)算以及弧長(zhǎng)計(jì)算等，解題時(shí)注意：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形；在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．