Question

1．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，連接AD、DE．
（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；
（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求弦AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理求得AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）先求得∠E=∠C，根據(jù)等角對等邊求得BD=DC=DE=3，進(jìn)而求得AD=1，然后根據(jù)勾股定理求得AB，即可求得圓的半徑；
（3）根據(jù)題意得到AC=$\sqrt{10}$，BC=6，DC=3，然后根據(jù)割線定理即可求得EC，進(jìn)而求得AE．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：∵AB=AC，
∠B=∠C，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴BD=DC=DE=3，
∵BD-AD=2，
∴AD=1，
在RT△ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（3）解：∵AB=AC=$\sqrt{10}$，BD=DC=3，
∴BC=6，
∵∠B=∠E，∠C=∠C，
∴△EDC∽△BAC，
∵AC•EC=DC•BC，
∴$\sqrt{10}$•EC=3×6，
∴EC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AE=EC-AC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$-$\sqrt{10}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及割線定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．