Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=kx+$\frac{1}{2}$與拋物線相交于點(diǎn)A，D．
（1）填空：A（-1，0），B（4，0），C（0，2），k=$\frac{1}{2}$；
（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA+MC的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAD是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式即可求得A、B、C的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入y=kx+$\frac{1}{2}$即可求得k的值；
（2）把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，得出對(duì)稱軸x=$\frac{3}{2}$，由A、B關(guān)于l對(duì)稱，得出直線BC與l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+2，代入B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，代入x=$\frac{3}{2}$，即可求得M的值；
（3）分三種情況分別討論，根據(jù)勾股定理求得即可．

解答 解：（1）令y=0，則-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，則y=2，
∴C（0，2），
把A（-1，0）代入y=kx+$\frac{1}{2}$得，-k+$\frac{1}{2}$=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
故A（-1，0），B（4，0），C（0，2），k=$\frac{1}{2}$；
（2）∵y=-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-）²+$\frac{25}{8}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸l是x=$\frac{3}{2}$，
∵A、B關(guān)于l對(duì)稱，
∴直線BC與l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+2，
則4m+2=0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{4}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）；

（3）設(shè)P（0，y），PA²=1²+y²，AD²=4²+2²=20，PD²=3²+（y-2）²，
①若∠PAD=90°，
由PA²+AD²=PD²，得1²+y²+20=3²+（y-2）²，
解得y=-2，
∴P（0，-2）；
②若∠PDA=90°，則有1²+y²=20+3²+（y-2）²，
解得y=8，
∴P（0，8）；
③若∠APD=90°，則有1²+y²+3²+（y-2）²=20，
解得y=3或y=-1，
∴P（0，3）或（0，-1），
綜上，在y軸上是存在點(diǎn)P，使△PAD是直角三角形，它的坐標(biāo)是（0，-2）或（0，8）或（0，3）或（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用等，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．