Question

6．如圖，點P是四邊形ABCD外接圓上任意一點，且不與四邊形頂點重合，若AD是⊙O的直徑，AB=BC=CD．連接PA、PB、PC，若PA=a，則點A到PB和PC的距離之和AE+AF=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．

Answer 1

分析 如圖，連接OB、OC．首先證明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，∠APC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，根據(jù)AE=AP•sin30°，AF=AP•sin60°，即可解決問題．

解答 解：如圖，連接OB、OC．

∵AD是直徑，AB=BC=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，∠APC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°（AE是A到PB的距離，AE⊥PB），
∴AE=AP•sin30°=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，
∴AF=AP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AE+AF=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．
故答案為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題考查圓周角定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．