Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間（0＜t＜6）．
（1）當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰直角三角形？
（2）求當(dāng)移動到△QAP為等腰直角三角形時斜邊QP的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，當(dāng)PB=CB時，△PBC為等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；
（2）由題意得出AP=2t，DQ=t，QA=6-t當(dāng)QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的長度，再由勾股定理求出QP即可．

解答 解：（1）對于任何時刻t，PB=12-2t，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6，
當(dāng)PB=CB時，△PBC為等腰直角三角形，
即12-2t=6，
解得：t=3
∴當(dāng)t=3，△PBC為等腰直角三角形；
（2）∵AP=2t，DQ=t，QA=6-t
當(dāng)QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形．
即6-t=2t．
解得：t=2（秒）．
∴當(dāng)t=2秒時，△QAP為等腰直角三角形．
此時 AP=4，QA=4，
在Rt△QAP中，QP=$\sqrt{Q{A}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．