Question

17．已知，在直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²-2x-3與x軸交與A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
（2）點P為y軸左側(cè)拋物線上的一動點，PE⊥x軸，交BC的延長線于點E，當△BEP為直角三角時，求點P的坐標；
（3）若P為線段OC上一動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得BQ，連接OQ，在運動過程中，求OQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用坐標軸上點的特點，令y=0，求出點A，B的坐標，令x=0求出點C的坐標，
（2）根據(jù)題意，分∠BPE=90°，即點P在x軸上和x軸上的點A重合，以及∠PBE=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出直線PE與y軸的交點坐標，再求直線和拋物線的交點兩種情況計算即可；
（3）點Q的軌跡是過O'與BO'垂直的直線，再確定出點OQ最小時點Q的位置，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2x-3與x軸交與A、B兩點，
∴令y=0，即0=x²-2x-3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0）．B（3，0），
令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
故答案為：-1，0；4，0；0，-3；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，∠CBO=45°，
∵PE⊥x軸，直線BC和x相交，
∴在y軸左側(cè)，∠PEB＜90°，
∵當△BEP為直角三角時，
①當∠BPE=90°時，
∵PE⊥OB，
∴點P只能在x軸上，即點P與點A重合，
∴P（-1，0），
②當∠PBE=90°時，
∵∠CBO=45°，
∴∠PBO=45°，
設直線PB與y軸的交點為G，
∴OG=OB=3，
∴G（0，3），
∴直線PE解析式為y=-x+3，①
∵點P在二次函數(shù)y=x²-2x-3②的圖象上，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（-2，5），
即：滿足條件的點P（-1，0），（-2，5）；
（3）如圖，

OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，
∴△QO'B≌△POB，
∴∠QO'B=∠POB=90°，O'B=OB=3，
∴點Q運動軌跡是直線O'M，
在Rt△ABO'中，O'B=3，∠ABO'=45°，
∴∠BMO'=45°，AB=3$\sqrt{2}$，
∴OM=3$\sqrt{2}$-3
作OH⊥O'M，
當點Q運動到H時，OQ的最小值
在Rt△AOH中，OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是求出點P的坐標，難點是確定出OQ的最小值時點Q的位置．