Question

5．如圖（1），△ABO與△A′B′O′均為等邊三角形，點(diǎn)A′、B′分別在線段OB、OA上，△ABO固定不動，△A′B′O繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α（0≤α≤180°），過A′、A點(diǎn)分別作OA、OA′的平行線交于O′點(diǎn)．
（1）如圖（2），當(dāng)0≤α≤60°時(shí)，若∠AO′A′=45°，則旋轉(zhuǎn)角α=15°；
（2）如圖（3），當(dāng)60°≤α≤180°時(shí)，若OO′=AA′，則旋轉(zhuǎn)角α=150°；
當(dāng)△AB′O′旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠AO′A′與旋轉(zhuǎn)角α的關(guān)系為α-60°
（3）如圖（4），在△A′B′O旋轉(zhuǎn)過程中，連O′B、OB，試判定∠BO′B′隨旋轉(zhuǎn)角α的變化情況，并證明．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形AOA'O'是平行四邊形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)直接求出α；
（2）同（1）的方法即可，利用平行四邊形的性質(zhì)得出∠AO'A'．
（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和代換求出∠BO'B'．

解答 解：（1）∵過A′、A點(diǎn)分別作OA、OA′的平行線交于O′點(diǎn)．
∴四邊形AOA'O'是平行四邊形，
∴∠A'OA=∠AO'A'=45°，
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴α=∠A'OB=∠AOB-∠AOA'=60°-45°=15°，
故答案為15°；
（2）由（1）知，四邊形AOA'O'是平行四邊形，
∵OO′=AA′，
∴四邊形AOA'O'是矩形，
∴∠AOA'=90°，
∴α=∠AOB+∠AOA'=60°+90°=150°，
∵四邊形AOA'O'是平行四邊形，
∴∠AOA'=∠AO'AO，
∵∠BOA'=∠AOB+∠AOA'
∴∠AO'A'=∠BOA'-∠AOB=α-60°，
故答案為150°，α-60°；
（3）無論旋轉(zhuǎn)角α為多少，∠BO'B'是定值60°即：∠BO'B'不變．
當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，
∵四邊形AOA'O'是平行四邊形，
∴∠OAO'=∠OA'O'，AO'=A'O
∵∠BOA=∠OA'B'=60°，
∴∠BAO'=∠O'A'B'
由旋轉(zhuǎn)得，AB=O'A'
∴△ABO'≌△A'O'B'，
∴∠ABO'=∠A'O'B'，∠AO'B=A'B'O'，
∵∠ABO'+∠A'O'A
=180°-∠BAO'
=180°-（360°-∠OAB-∠A'AO'）
=180°-[360°-60°-（180°-∠AOA'）]
=180°-[360°-60°-（180°-∠AOA'）]
=60°-∠AOA'
∴∠AO'B+∠A'O'B'=60°-∠AOA'
∴∠BO′B=∠AO'B+∠AO'A'+∠A'O'B'=60°-∠AOA'+∠AO'A'=60°，
當(dāng)0＜α＜60°時(shí)，同上的方法得出∠BO′B=60°，
即：∠BO'B'不隨α的變化而變化，是個(gè)定值．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵找出角之間的關(guān)系．