Question

6．如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在第一象限且在直線y=-x+5上．
（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），寫出△OPA的面積S與x之間的關(guān)系式（其中點(diǎn)P橫坐標(biāo)在O與A點(diǎn)之間變化）；
（2）當(dāng)S=12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若△OPA是直角三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)，并求面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PH⊥OA于H．根據(jù)S=$\frac{1}{2}$×OA×PH計(jì)算即可．
（2）利用（1）中結(jié)論S=12代入，解方程即可．
（3）如圖2中，直線y=-x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，K是OA中點(diǎn)，作KM⊥BC于M．分三種情形討論說明即可．

解答 解：（1）如圖1中，作PH⊥OA于H．

∵A（4，0），P（x，y），
∴OA=4，PH=y，
∵點(diǎn)P在y=-x+5上，
∴PH=-x+5，
∴S=$\frac{1}{2}$×OA×PH=$\frac{1}{2}$×4×（-x+5）=-2x+10，
∴S=-2x+10．

（2）∵S=12，
∴-2x+10=12，
∴x=-1，y=6，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，6）．

（3）如圖2中，直線y=-x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，K是OA中點(diǎn)，作KM⊥BC于M．

①當(dāng)∠POA=90°時(shí)，點(diǎn)P與C重合，不符合題意，點(diǎn)P在第一象限．
②當(dāng)∠OAP=90°時(shí)，∵△PAB是等腰直角三角形，
∴PA=AB=1，
∴P（4，1），S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×1=2．
③∵KA=KO=2，KB=3，
∴KM=MB=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$＞2，
∠OPA不可能為直角．
∴△OPA是直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），面積為2．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．