Question

16．如圖，直線y=2x-2分別與x軸、y軸相交于M，N兩點，并且與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于A，B兩點，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，AC與BD的延長線交于點E（m，n）．
（1）求證：$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$；
（2）若$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{k}{x}$＞2x-2的x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，P為雙曲線上一點，以O(shè)B，OP為鄰邊作平行四邊形，且平行四邊形的周長最小，求第四個頂點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），則有AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，首先證明$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，由此即可解決問題．
（2））由DM∥AE，得$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)A（m，n）則B（-$\frac{m}{2}$，-2n），把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，求出A、B兩點坐標即可解決問題．
（3）因為點B是定點，OB是定長，所以要求平行四邊形OBPQ的周長的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=$\frac{4}{x}$上，設(shè)P（a，$\frac{4}{a}$），因為OP²=n²+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）²+8，所以當n-$\frac{4}{n}$=0時，OP²的值最小，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：設(shè)A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），則有AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}-\frac{k}{{x}_{2}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，$\frac{EC}{ED}$=$\frac{-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$．

（2）∵DM∥AE，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∴A（m，n）則B（-$\frac{m}{2}$，-2n），
把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴A（2，2），B（-1，-4），
由圖象可知，$\frac{k}{x}$＞2x-2時，x＜-1或0＜x＜2．

（3）由（2）可知反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，A（2，2），B（1，-4），
∵四邊形OBPQ是平行四邊形，
∴OB=PQ，PO=BQ，
∵點B是定點，∴OB是定長，
∴要求平行四邊形OBPQ的周長的最小值只需要求出OP的最小值即可，
∵P在y=$\frac{4}{x}$上，設(shè)P（a，$\frac{4}{a}$），
∴OP²=n²+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）²+8，
∴當n-$\frac{4}{n}$=0時，OP²的值最小，
∴n=±2時，OP有最小值，
∴P（2，2）或（-2，-2），Q（1，-2）或（-3，-6）．

點評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、坐標與圖象的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法以及三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．