Question

4．如圖，線段EF與直線AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，∠CFE的平分線交AB于點(diǎn)M，∠AEF的平分線交MF于點(diǎn)P，記∠AEP=α，∠CFP=β，α+β=90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若∠EFD的平分線交AB于點(diǎn)N，求∠MNF+∠NMF的和．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線定義得：∠AEF=2∠AEP，∠CFE=2∠CFP，根據(jù)已知得：∠AEF+∠CFE=2α+2β=180°，可得AB∥CD；
（2）根據(jù)角平分線得：∠EFD=2∠EFN，由三角形內(nèi)角和得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵M(jìn)F平分∠CFE，EP平分∠AEF，
∴∠AEF=2∠AEP，∠CFE=2∠CFP，
∵∠AEP=α，∠CFP=β，α+β=90°，
∴∠AEF+∠CFE=2α+2β=180°，
∴AB∥CD；
（2）∵FN平分∠EFD，
∴∠EFD=2∠EFN，
∵∠EFC=2∠EFM，
∵∠EFD+∠EFC=180°，
∴∠EFN+∠EFM=90°，
∴∠MNF+∠NMF=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和角平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．