Question

10．圖a是一個(gè)長(zhǎng)2m，寬2n的長(zhǎng)方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖b拼成一個(gè)正方形．
（1）圖b中的陰影部分的面積表示為（m+n）²-4mn，并且有（m+n）²，（m-n）²，mn之間的等量關(guān)系為（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）利用（1）的結(jié)論，思考：若x+y=-2，xy=-1.25，則x-y=±3；
（3）觀察圖c，利用圖中表述的代數(shù)恒等式，思考：若方程2x²+3xy+y²=0（y≠0），則$\frac{x}{y}$=-1或-$\frac{1}{2}$；
（4）用圖c中三個(gè)陰影圖形，每個(gè)至少用一次，拼成一個(gè)面積為2m²+5mn+2n²長(zhǎng)方形（圖形之間不重疊無(wú)縫隙）畫(huà)出圖形（盡可能根原圖一樣標(biāo)準(zhǔn)并標(biāo)出此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬）

Answer 1

分析 （1）陰影部分的面積=大正方形面積-4個(gè)長(zhǎng)方形面積得出結(jié)論；
（2）代入（1）式計(jì)算即可；
（3）利用圖b分解因式，解方程；
（4）仿照（3）畫(huà)圖，利用面積得出邊長(zhǎng)．

解答 解：（1）圖b中的陰影部分的面積表示為：（m+n）²-4mn，還可以表示為：（m-n）²，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn，
故答案為：（m+n）²-4mn，（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（2）（x-y）²=x²-2xy+y²，
=（x+y）²-4xy，
=（-2）²-4×（-1.25），
=9，
∴x-y=±3，
故答案為：±3；
（3）由圖c得：（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²，
2x²+3xy+y²=0，
（2x+y）（x+y）=0，
2x+y=0或x+y=0，
x=-$\frac{1}{2}$y或x=-y，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$y時(shí)，$\frac{x}{y}$=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=-y時(shí)，$\frac{x}{y}$=-1，
故答案為：-1或-$\frac{1}{2}$；
（4）如圖d，長(zhǎng)方形面積為：（2m+n）（m+2n）=2m²+5mn+2n²．

點(diǎn)評(píng) 本題是完全平方公式的幾何背景，運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形的面積對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．