Question

15．已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖1所示．
（1）請說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實際意義；
（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在圖2的坐標系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果；
（3）經(jīng)調(diào)查，某零售店銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，假設當日零售價不變，當日進的水果全部銷售完，毛利潤=銷售收入-進貨成本，請幫助該零售店確定合理的銷售價格，使該日獲得的毛利潤最大，并求出最大毛利潤．

Answer 1

分析 （1）直接寫出兩段函數(shù)圖象的實際意義：①橫坐標為批發(fā)量0～70kg，縱坐標為6元/kg；
②橫坐標為批發(fā)量大于70kg，縱坐標為4元/kg；
（2）資金金額w=批發(fā)量×單價，并畫出兩個正比例函數(shù)圖象，兩函數(shù)圖象縱標公共的部分即為同樣的資金，根據(jù)圖形數(shù)據(jù)寫出即可；
（3）設出變量，分別計算出兩個分段函數(shù)日最高銷量與零售價之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)毛利潤=銷售收入-進貨成本計算出毛利潤的函數(shù)關(guān)系式，并求出最值，對比后寫出使該日獲得的毛利潤最大的合理的銷售價格，并計算出最大利潤．

解答 解：（1）①表示批發(fā)量少于70kg時，批發(fā)價為6元/kg；
②表示批發(fā)量達到70kg以上時，批發(fā)價為4元/kg；
（2）w=$\left\{\begin{array}{l}{6m（m＜70）}\\{4m（m≥70）}\end{array}\right.$，
圖象如圖2所示，
當m=70時，6m=6×70=420，4m=4×70=280，
∴資金金額在280≤w＜420時，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果；
（3）設銷售價格為x元/kg，日最高銷量為ykg，毛利潤為w元，
當6≤x≤10時，設解析式為：y=kx+b，
把（6，80）、（10，60）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=80}\\{10k+b=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴y=-5x+110，
當70≤y≤80時，w=（-5x+110）（x-4）=-5x²+130x-440=-5（x-13）²+405，y隨x的增大而增大，所以當x=8時，有最大利潤為：w=-5（8-13）²+405=280，
當60≤y＜70時，w=（-5x+110）（x-6）=-5x²+140x-660=-5（x-14）²+320，y隨x的增大而增大，所以當x=10時，有最大利潤為：w=-5（10-14）²+320=240，
當10＜x≤14時，同理求出解析式為：y=-10x+160，
∴w=（-10x+160）（x-6）=-10x2+220x-960=-10（x-11）²+250，當x=11時，w有最大值為：250，
綜上所述：當x=8時，有最大利潤為280元，
則該零售店銷售價格定為8元時，該日獲得的毛利潤最大，最大利潤為280元．

點評 本題是二次函數(shù)的應用，屬于銷售利潤問題，比較復雜；首先要明確①銷售收入=日銷量×銷售單價，②毛利潤=銷售收入-進貨成本，熟練掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，對于二次函數(shù)的最值問題，可以利用配方法求頂點坐標，并根據(jù)自變量的取值確定其最大值．