Question

2．正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線相交于點(diǎn)P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，
①直接寫出O、P、A三點(diǎn)坐標(biāo)；
②求拋物線L的解析式；
（2）求△OAE與△OCE面積之和的最大值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．①根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)O、P、A三點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax²+bx+c，結(jié)合點(diǎn)O、P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由點(diǎn)E為正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式找出S_△OAE+S_OCE關(guān)于m的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

①∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線相交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．
②設(shè)拋物線L的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{0=16a+4b+c}\\{2=4a+2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線L的解析式為y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x．
（2）∵點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m）（0＜m＜4），
∴S_△OAE+S_OCE=$\frac{1}{2}$OA•y_E+$\frac{1}{2}$OC•x_E=-m²+4m+2m=-（m-3）²+9，
∴當(dāng)m=3時(shí)，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）建立直角坐標(biāo)系．①根據(jù)正方形的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，建立直角坐標(biāo)系，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．