Question

12．如圖，邊長為2的正三角形DEF的三個頂點恰好在邊長為3的正三角形ABC的各邊上，則三角形AEF的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由于△ABC、△EFD都是等邊三角形，因此它們的內(nèi)心重合，設(shè)△ABC的內(nèi)心為M，△AEF的內(nèi)心為N，連接FN、MF，可先證MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．

解答 解：設(shè)△AEF的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=3+2=5．
S_△ABC=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，S_△DEF=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$
∴S_△AEF=$\frac{1}{3}$（S_△ABC-S_△DEF）=$\frac{1}{3}×（\frac{9\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}）$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
∴r═$\frac{2{S}_{△AEF}}{AE+AF+EF}=\frac{2×\frac{5\sqrt{3}}{12}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的半徑與三角形的周長、面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．