Question

17．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為C′．
（1）如果C′落在線段AB的延長(zhǎng)線上，
①求∠BAP的度數(shù)；
②求線段BP的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)直線AP與CC′的交點(diǎn)為M，求證：BM⊥DM．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=1，∠ABC=90°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，由對(duì)稱的性質(zhì)得出∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC即可；
②由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，由角平分線的性質(zhì)定理即可求出BP的長(zhǎng)度；
（2）連接BM，先證明B、M、C、A四點(diǎn)共圓，得出∠AMD=∠ACD=45°，再證明A、M、C、D四點(diǎn)共圓，得出∠AMD=∠ACD=45°，得出∠BMD=90°即可．

解答 （1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
由對(duì)稱的性質(zhì)得：∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°；
②由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由①得：AP是∠BAC的平分線，
∴$\frac{BP}{CP}=\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{BP}{1-BP}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得：BP=$\sqrt{2}$-1；
（2）證明：如圖所示：
∵∠ABC=∠AMC=90°，
∴B、M、C、A四點(diǎn)共圓，
∴∠AMD=∠ACD=45°，
∵∠AMC=∠ADC=90°，
∴A、M、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠AMD=∠ACD=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM⊥DM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、對(duì)稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．