Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+4交y軸于點C，交x軸于點A，B（A在B的左邊），頂點為E，對稱軸直線EF交x軸于點F，CD∥x軸交拋物線于點D，連結(jié)BD交EF于點G．若點B（2，0），且△BCG恰為直角三角形，則EF的長為$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 連接AG，由二次函數(shù)的性質(zhì)得出A、G、C三點共線，且AF=BF，設(shè)拋物線的對稱軸為x=m，得出OA=-2m+2，AB=-2m+4，證明△AOC∽△COB，得出OC²=OA•OB，得出方程，解方程得出A的坐標，求出二次函數(shù)的解析式，化成頂點式，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接AG，如圖所示：
由二次函數(shù)的性質(zhì)得：A、G、C三點共線，且AF=BF，
設(shè)拋物線的對稱軸為x=m，
∵B（2，0），
∴OF=-m，AF=BF=-m+2，
∴OA=-2m+2，AB=-2m+4，
∵拋物線y=ax²+bx+4交y軸于點C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
若△BCG為直角三角形，則∠BCG=90°，
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA•OB，即4²=2（-2m+2），
解得：m=-3，
∴OA=8，
∴A（-8，0），
把A（-8，0），B（2，0）代入拋物線y=ax²+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a-8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$；
∴EF的長為$\frac{25}{4}$；
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形相似求出A的坐標是解決問題的關(guān)鍵．