Question

13．如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點M、Q、N．求證：MQ=QN．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形性質AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，求出∠GAB=∠EAC，證出△BAG≌△EAC，再根據(jù)三角形中位線求出即可．

解答 證明：連接BG和CE交于O，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB=∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAG=∠EAC}\\{AG=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG=CE．
∵BE、BC、CG的中點M、Q、N，
∴MQ=$\frac{1}{2}$CE，QN=$\frac{1}{2}$BG，
∵BG=CE，
∴QN=MQ．

點評 本題考查了正方形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是根據(jù)正方形性質AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC．