Question

5．在數(shù)學(xué)小組學(xué)習(xí)活動(dòng)中，同學(xué)們探究如下的題目．
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC的延長線上，且ED=EC，如題圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．
某小組思考討論后，進(jìn)行了如下解答：（請你幫助完成以下解答）
（1）特殊情況，探索結(jié)論：
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：（請你完成以下解答過程）
（2）特例啟發(fā)，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長．
請直接寫出答案：CD=3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠D=∠BED=30°，根據(jù)等角對等邊得出BE=BD，即可證得AE=DB；
（2）過點(diǎn)E作EF∥BC，先證得△AEF是等邊三角形，進(jìn)而證得∠DBE=∠EFC=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠D=∠CEF，從而證得△DBE和△EFC，得出AE=DB；
（3）過E點(diǎn)作EF⊥CD于F．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)可求CF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求CD的長．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，結(jié)論：AE=DB，
理由：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
（2）題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB，
理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠BCE=∠CEF，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，
∵DE=CE，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF，
∵∠ABC=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBE和△EFC（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
（3）解：如圖3，過E點(diǎn)作EF⊥CD于F．
∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為1，AE=2，
∴BE=2-1=1，∠ABC=60°，
∴∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=0.5，
∴CF=0.5+1=1.5，
∵ED=EC，
∴CF=DF，
∴CD=1.5×2=3．
故答案為=；=；3．

點(diǎn)評 考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形求得的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)定理．