Question

1．如圖，以正方形ABCD的對角線BD為邊作等邊三角形BDE，過E作EF⊥AD，交DA的延長線于F，則∠AEF的度數(shù)為45°；若等邊三角形BDE的面積為18$\sqrt{2}$cm²，則正方形的面積為12$\sqrt{6}$cm²．

Answer 1

分析 由△EAD≌△EAB得∠EAD=∠EAB=$\frac{360°-∠DAB}{2}$=135°，求出∠EAF的值即可求出∠AEF，根據(jù)等邊三角形的面積公式S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（BD）²，求出BD²，再根據(jù)正方形面積等于對角線乘積的一半即可解決．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠BAF=90°，
∵△BDE是等邊三角形，
∴ED=EB=BD，
在△EAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EB}\\{AE=AE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EAB，
∴∠EAD=∠EAB=$\frac{360°-∠DAB}{2}$=135°，
∴∠EAF=∠EAB-∠BAF=45°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFA=90°，
∴∠AEF=90°-∠EAF=45°，
∵S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（BD）²=18$\sqrt{2}$，
∴BD²=24$\sqrt{6}$，
∴S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$•（BD）²=12$\sqrt{6}$．
故答案分別為45°．，12$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，需要記住等邊三角形的面積公式$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，正方形的面積等于對角線乘積的一半，屬于中考常考題型．