Question

4．已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）（a、m 為常數(shù)，且a≠0）的圖象與x軸交于A、B 兩點(diǎn)
（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E．若△CBO與△DAE相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試討論m與a的關(guān)系；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)y=-a（x-m）²+a（x-m）的圖象組合成一個(gè)新的圖形，這個(gè)新圖形的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{2m+1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令y=0，直接解方程即可；
（2）根據(jù)△CBO與△DAE相似且∠COB=∠DEA=90°，得到$\frac{CO}{DE}$=$\frac{OB}{AE}$或$\frac{CO}{AE}$=$\frac{OB}{DE}$，從而得到m與a的關(guān)系；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象只有開(kāi)口方向不同，對(duì)稱(chēng)軸相同可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，當(dāng)y=0時(shí)，a（x-m）²-a（x-m）=0，解得，x₁=m，x₂=m+1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（m，0），B（m+1，0）．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=am²+am，
可得，C（0，am²+am），
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-$\frac{2m+1}{2}$）²-$\frac{a}{4}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2m+1}{2}$，-$\frac{a}{4}$），
∵△CBO與△DAE相似且∠COB=∠DEA=90°，
∴$\frac{CO}{DE}$=$\frac{OB}{AE}$或$\frac{CO}{AE}$=$\frac{OB}{DE}$，
即|$\frac{{am}^{2}+am}{-\frac{a}{4}}$|=|$\frac{m+1}{\frac{2m+1}{2}-m}$|或|$\frac{{am}^{2}+am}{\frac{2m+1}{2}-m}$|=|$\frac{m+1}{-\frac{a}{4}}$|，
解得a²m=±2，且a≠0，m≠-1；或者，當(dāng)m=±$\frac{1}{2}$時(shí)，a可取一切非零實(shí)數(shù)．
（3）x軸所在直線，x=$\frac{2m+1}{2}$．
故答案為x=$\frac{2m+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)等，難度較大．