2、(2009廣東揭陽)設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x (a i∈R，i＝0，1，2，3 )，當(dāng)時，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y＝f¢ (x)的圖象關(guān)于y軸對稱。
(1)求f (x)的表達式；
(2)試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[－1，1]上；(3)求證：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ (x∈R)．
1、(2009澄海)已知二次函數(shù)
，不等式
的解集為
．
(Ⅰ)若方程
有兩個相等的實根，求
的解析式；
(Ⅱ)若的最大值為正數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍．
6、(2009廣東五校第一次)某商店將每個進價為10元的商品，按每個18元銷售時，每天可賣出60個，經(jīng)調(diào)查，若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每提高1元，則日銷售量就減少5個；若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每降低1元，則日銷售量就增加10個，為獲得每日最大利潤，此商品售價應(yīng)定為每個多少元？
解：設(shè)每個售價為x元，每日利潤為y元。
若x≥18時，銷售量為60-5(x-18)，每個利潤為(x-10)元，……2分
那么每日利潤為y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500, ……4分
此時，售價定為每個20元時，利潤最大，其最大利潤為500元；……6分
若x<18時，銷售量為60+10(18-x)，每個利潤為(x-10)元， ……7分
那么每日利潤為y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490, ……9分
此時，售價定為每個17元時，利潤最大，其最大利潤為490元；
故每個商品售價定為20元時，每日利潤最大。 ……11分
答：為獲得每日最大利潤，此商品售價應(yīng)定為每個20元。
5、(深圳福田等八校)已知函數(shù)
，常數(shù)
(1)討論函數(shù)
的奇偶性，并說明理由；
(2)若函數(shù)在
上為增函數(shù)，求
的取值范圍．
解：(1)當(dāng)
時，
，對任意
為偶函數(shù) ……………3分
當(dāng)
時，
取
，得 
函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)……6分
(2)解法一：要使函數(shù)在上為增函數(shù)
等價于
在上恒成立
……………………………8分
即
在上恒成立，故
在上恒成立
∴
…………………………………………10分
∴ 的取值范圍是
…………………………………………12分
解法二：設(shè)
……8分
要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須
恒成立
，即
恒成立 ………………………………10分
又
，
的取值范圍是
……………………………………………12分
4、(2009實驗中學(xué))若函數(shù)
的定義域為M。當(dāng)
時，求
的最值及相應(yīng)的x的值。
解析：，
，…………………1分
解得：
，∴
……………3分
=
……………4分
∵，∴
……………6分
∴f(x)=
()……………7分
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
……………9分
……………10分
當(dāng)
……………11分
綜上可知：當(dāng)
f(x)取到最大值為
，無最小值�！�12分
3、(2009廣東五校)通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f (t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中)，經(jīng)過實驗分析得知：
(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？
(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中？
(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？
解：(1)當(dāng)
，
是增函數(shù)…1分，
且
…………2分；
，
是減函數(shù)，且
…………4分.
所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘…………5分.
(2)
…………7分，
故講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中…………9分.
(3)當(dāng)
時，
…………11分；
當(dāng)
，令
…………12分，
則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間28.57－4=24.57＞24…………13分，
所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達到所需要的狀態(tài)下講授完這道題…………14分.
2、
(2009執(zhí)信)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ) 寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=
；
寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=
；
(Ⅱ) 認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？
(注：市場售價和種植成本的單位：元/
kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為
f(t)=
由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=
(t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)－g(t)
即h(t)=
當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得h(t)=－(t－50)2+100，
所以，當(dāng)t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；
當(dāng)200<t≤300時，配方整理得h(t)=－(t－350)2+100
所以，當(dāng)t=300時，h(t)取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5．
綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．
1、(2009廣州六中)已知二次函數(shù)
：
⑴若函數(shù)在區(qū)間
上存在零點，求實數(shù)
的取值范圍；
⑵問：是否存在常數(shù)
，當(dāng)
時，的值域為區(qū)間
，且的長度為
。
解：⑴ ∵二次函數(shù)的對稱軸是
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點須滿足
即 
解得
⑵ 當(dāng)
時，即
時，的值域為：
，
即
∴
∴
∴
，經(jīng)檢驗不合題意，舍去。
當(dāng)
時，即
時，的值域為：
，即 
∴
∴
經(jīng)檢驗不合題意，舍去。
當(dāng)
時，的值域為：
，即 
∴
∴
∴或
經(jīng)檢驗或滿足題意，所以存在常數(shù)，當(dāng)時，的值域為區(qū)間，且的長度為。
8、(2009潮州)為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：
|
|
|
明文
密文
密文
明文
已知加密為
為明文、
為密文
，如果明文“
”通過加密后得到密文為“
”，
再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“”，若接受方接到密文為“
”，則原發(fā)的明文
是 。
解：依題意中，當(dāng)
時，
，故
，解得
，所以加密為
，因此，當(dāng)
時，由
，解得
。
7、(廣東五校第一次)函數(shù)
的定義域為_____________。
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