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∴ （分組、裂項(xiàng)求和）

                   （裂項(xiàng)）

                    （設(shè)制分組）

解：∵ （找通項(xiàng)及特征）

109. (2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知數(shù)列：，求的值。

即　　S_n²－2S_n＋1－a_nS_n＝0．

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得

S_n－1S_n－2S_n＋1＝0　　�、�

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．

(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即S_k＝，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，

故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．

綜上，由(i)、(ii)可知S_n＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立．　　

于是當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝－＝，

又n＝1時(shí)，a₁＝＝，所以

｛a_n｝的通項(xiàng)公式a_n＝，n＝1，2，3，…．

108. (2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)設(shè)數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1，2，3，…．

（Ⅰ）求a₁，a₂；

（Ⅱ）｛a_n｝的通項(xiàng)公式。

解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

當(dāng)n＝2時(shí)，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由題設(shè)(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

    所以