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設(shè)數(shù)列滿足，則的值為 .

已知函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）.若方程有四個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是 .

如圖，矩形的邊在軸上，頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.記，則的最大值為 .

在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓，若圓 上存在點(diǎn)滿足：過(guò)點(diǎn)向圓作兩條切線切點(diǎn)為，的面積為1，則正數(shù)的取值范圍是 .

已知是銳角三角形，向量，且.

（1）求的值；

（2）若，求的長(zhǎng).

如圖，在四棱錐中，平面，分別是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作直線，分別交橢圓和圓于相異兩點(diǎn).

（1）若直線的斜率為，求的值；

（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計(jì)劃將矩形區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口.

（1）若窗口為正方形，且面積大于（木條寬度忽略不計(jì)），求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍；

（2）若四根木條總長(zhǎng)為，求窗口面積的最大值.

已知數(shù)列，均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列，為的前項(xiàng)和，.

（1）若，求的值；

（2）若是公比為的等比數(shù)列，求證：存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列；

（3）若的各項(xiàng)都不為零，是公差為的等差數(shù)列，求證：成等差數(shù)列的充要條件是.

設(shè)函數(shù)（，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.