Question

3．函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函數(shù)是f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞））．

Answer 1

分析 先令y=f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$，用y表示出x，再交換x，y的位置，即得所求的反函數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的定義域為（-∞，-1]∪[1，+∞）；
當x∈（-∞，-1]時，y∈[-1，0），
當x∈[1，+∞）時，y∈[-1，+∞）；
故函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的值域為：[-1，0）∪[-1，+∞）；
由y=f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$得：y-x=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
平方得：y²-2xy+x²=x²-1，即2xy=y²+1，
即x=$\frac{{y}^{2}+1}{2y}$，
故函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函數(shù)是f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞）），
故答案為：$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞））

點評 本題考查反函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握住反函數(shù)的定義，由定義求出反函數(shù)的解析式，本題有一易漏點，即忘記求出函數(shù)的定義域，對于求函數(shù)的解析式的題，一般要求出函數(shù)的定義域