Question

8．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)，己知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0．
（1）求B的坐標(biāo)；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，根據(jù)圖形設(shè)出點(diǎn)B（x，y），且y＞0，利用|AB|=2|OA|與OA⊥AB列出方程組，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求出該圓的圓心與半徑，再求圓心關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，寫出所求圓的方程即可．

解答 解：（1）如圖所示，
設(shè)點(diǎn)B（x，y），且y＞0，
∵點(diǎn)A（4，-3），
∴|OA|=$\sqrt{{4}^{2}{+（-3）}^{2}}$=5，
又|AB|=2|OA|，
∴$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}}$=2×5①，
又OA⊥AB，∴$\frac{y+3}{x-4}$•$\frac{-3}{4}$=-1②，
由①②組成方程組，化簡得$\left\{\begin{array}{l}{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}=100}\\{3（y+3）=4（x-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-11}\end{array}\right.$（不合題意舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，5）；
（2）求出直線OB方程為：y=$\frac{1}{2}$x，
由條件知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y+1）²=10，
∴圓心為（3，-1），半徑為$\sqrt{10}$；
設(shè)圓心C（3，-1）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為C′（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-1}{2}=\frac{1}{2}•\frac{x+3}{2}}\\{\frac{y+1}{x-3}•\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．

點(diǎn)評 本題是考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法以及轉(zhuǎn)化思想的一樣問題，是綜合性題目．