Question

16．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）判斷直線l與圓C的位置關系；
（3）當m=0時，求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）把直線l的方程化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，求出方程組的解即得；
（2）根據(jù)圓C的圓心到定點A的距離d＜r，得出A點在圓C內，直線l與圓C相交；
（3）求m=0時圓心C到直線l的距離，利用勾股定理求出直線l被圓C所截得的弦長即可．

解答 解：（1）證明：直線l的方程可化為：
m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直線l恒過定點A（3，1）；
（2）圓C：（x-1）²+（y-2）²=25的圓心C（1，2），半徑r=5，
點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5=r，
∴A點在圓C內，即直線l與圓C相交；
（3）當m=0時，直線l的方程為x+y-4=0，
由圓心C（1，2）到直線l的距離為d′=$\frac{|1+2-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
半徑r=5，
∴直線l被圓C所截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}{-d′}^{2}}$=2$\sqrt{{5}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓相交的性質，以及直線恒過定點的問題，也考查了直線被圓所截得弦長的計算問題，是綜合性題目．