Question

3．圓臺(tái)的側(cè)面積為$\frac{16}{3}$πcm²，它的內(nèi)切球的表面積是4πcm²，則圓臺(tái)的體積為$\frac{26}{9}$πcm³．

Answer 1

分析 設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，由切線長(zhǎng)定理得母線長(zhǎng)為R+r，
由圓臺(tái)的側(cè)面面積和內(nèi)切球表面積求出r和R，高是圓臺(tái)內(nèi)切球的直徑a，由此求出圓臺(tái)的體積．

解答 解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則母線長(zhǎng)為R+r；
設(shè)圓臺(tái)內(nèi)切球的半徑為a，則4πa²=4π，解得a=1；
又圓臺(tái)的側(cè)面面積是π•（r+R）²=$\frac{16}{3}$π，
解得r+R=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$①；
畫出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：

則R-r=$\sqrt{{（R+r）}^{2}{-（2a）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-4}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$②，
由①②解得R=$\sqrt{3}$，r=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$；
∴圓臺(tái)的體積為V=$\frac{1}{3}$π（r²+rR+R²）h=$\frac{1}{3}$π（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+3）×2=$\frac{26}{9}$π（cm³）．
故答案為：$\frac{26}{9}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與面積、體積的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)線切長(zhǎng)定理得出母線長(zhǎng)為R+r，是簡(jiǎn)化解題的關(guān)鍵．