Question

8．設集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，C={x|x²-mx+2=0}，若A∪B=A，A∩C=C．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值集合；
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由已知得A={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，再由A∪B=A，知B⊆A，顯見B≠∅，對B分情況討論可得答案，
（Ⅱ）由A∩C=C得C⊆A，對C分是空集、單元素集合、雙元素集合三種情況討論，易得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得A={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，
由A∪B=A，知B⊆A
顯見B中至少有一個元素1，即B≠∅，
當B為單元素集合時，只需a=2，此時B={1}滿足題意．
當B為雙元素集合時，只需a=3，此時B={1，2}也滿足題意
所以，a=2或a=3，故a的取值集合為{2，3}
（Ⅱ）由A∩C=C得C⊆A
當C是空集時，△=m²-8＜0，∴-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$
當C為單元素集合時，△=0，m=±2$\sqrt{2}$，此時C={$\sqrt{2}$}或C={-$\sqrt{2}$}，不滿足題意
當C為雙元素集合時，C只能為{1，2}，此時m=3
綜上m的取值集合為{m|m=3或-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$}．

點評 本題考查集合間的相互包含關系及運算，應注意集合的子集情況，特別是空集．