Question

19．如圖，已知矩形ABCD是圓柱O₁O₂的軸截面，N在上底面的圓周O₂上，AC，BD相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求證：平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）已知圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，直線BC與平面CAN所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求∠CDN的度數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明CN垂直平面ADN，推出直線與平面垂直利用平面垂直的判定定理證明，平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）通過圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，求出圓柱的高與底面半徑的關(guān)系．直線BC與平面CAN所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，轉(zhuǎn)化三角形CDN的邊長關(guān)系，然后求∠CDN的度數(shù)．

解答 證明：（Ⅰ）已知矩形ABCD是圓柱O₁O₂的軸截面，N在上底面的圓周O₂上，
可知AD⊥上底面圓O₂，
∴AD⊥CN，又CN⊥DN，
AD∩DN=D，
可得CN⊥平面ADN，CN?平面CAN，
∴平面ADN⊥平面CAN；
（Ⅱ）由已知可知M為O₁O₂的中點(diǎn)，圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，兩個(gè)圓錐相同，圓錐MO₁和圓錐MO₂的側(cè)面展開圖都是半圓，ABπ=AMπ，
∴AB=AM，AD=2MO₁=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$CD．
直線BC與平面CAN所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即AD與平面CAN所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
可得tan∠DAN=$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{DN}{AD}$，ND=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}×\sqrt{3}$CD=$\frac{1}{2}CD$，
cos∠CDN=$\frac{DN}{CD}$=$\frac{1}{2}$．
∠CDN的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評 本題考查空間幾何體的位置關(guān)系，直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面生產(chǎn)基地應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．