Question

8．在△ABC中，∠B=45°，AC=$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，求
（1）BC的長(zhǎng)
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式，算出sinA=sin（B+C），再正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$的式子，即可解出BC的長(zhǎng)；
（2）利用余弦定理算出c=2．設(shè)CD=x，根據(jù)余弦定理關(guān)于三角形中線的定理建立關(guān)于x的方程，解得x=$\frac{5}{2}$，即得AB邊的中線CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c．
∵cosC=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故BC=2$\sqrt{2}$．
（2）∵由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²=8+5-2×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$=1，可得c=1，
設(shè)中線CD=x，則有
∵AB²+（2CD）²=2（BC²+AC²），即c²+4x²=2（a²+b²）
∴4x²=2（a²+b²）-c²=2（8+5）-1=25，解之得x=$\frac{5}{2}$．
即AB邊的中線CD的長(zhǎng)等于$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的兩角和一條邊，求一條邊和一條中線的長(zhǎng)．著重考查了同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和的正弦公式和正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．