Question

4．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A（x，y）實施變換f后，對應(yīng)點為A₁（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點實施變換f后，對應(yīng)點的軌跡仍是圓x²+y²=r²（r≠0）；
②若直線y=kx+b上每一點實施變換f后，對應(yīng)點的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上每一點實施變換f后，對應(yīng)點的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一點實施變換f后，對應(yīng)點的軌跡是曲線C₁，M是曲線C上的任意一點，N是曲線C₁上的任意一點，則|MN|的最小值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
以上正確命題的序號是①③④（寫出全部正確命題的序號）．

Answer 1

分析 本題的關(guān)鍵是理解點A（x，y）實施變換f后，對應(yīng)點為A₁（y，x）這一變換過程，針對每一個方程給出變換后的正確方程．

解答 解：①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點實施變換f后，
顯然互換x，y后，對應(yīng)點的軌跡仍是圓x²+y²=r²（r≠0）；
則①正確；
②若直線y=kx+b上每一點實施變換f后，
互換x，y后，對應(yīng)點的軌跡方程：x=ky+b，若應(yīng)點的軌跡方程仍是y=kx+b，
那么k=±1且b=0，則②不正確；
③橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上每一點實施變換f后，
對應(yīng)點的軌跡：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
那么對應(yīng)點的軌跡仍是離心率不變的橢圓，則③正確；
④曲線C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一點實施變換f后，
對應(yīng)點的軌跡是曲線C₁：x=-y²+2y-1（x＞0）
將y=x向下平移$\frac{3}{4}$個單位得到直線y=x-$\frac{3}{4}$，那么直線y=x-$\frac{3}{4}$與y=-x²+2x-1（x＞0）相切，
那么y=x與直線y=x-$\frac{3}{4}$的距離是$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，利用對稱性可知，則|MN|的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
則④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線和圓的方程的求法，以及橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，是一道高考常見的題型．