Question

12．一直線經(jīng)過點P（$\sqrt{3}$，3），被圓x²+y²=4截得的弦長為2，求此弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心的坐標(biāo)及半徑，由直線被圓截得的弦長，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出弦心距，一下分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在，顯然x=$\sqrt{3}$滿足題意；若斜率存在，設(shè)出斜率為k，由直線過P點，由P的坐標(biāo)及設(shè)出的k表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而得到所求直線的方程．

解答 解：由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
∵直線被圓截得的弦長為2，
∴弦心距=$\sqrt{3}$，
若此弦所在的直線方程斜率不存在時，顯然x=$\sqrt{3}$滿足題意；
若此弦所在的直線方程斜率存在，設(shè)斜率為k，
∴所求直線的方程為y-3=k（x-$\sqrt{3}$），即kx-y-$\sqrt{3}$k+3=0
∴圓心到所設(shè)直線的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此時所求方程為x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0，
綜上，此弦所在直線的方程為x=$\sqrt{3}$或x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．