Question

3．5名男生、2名女生站一排照相：
（1）若女生甲要站兩端，有多少種不同的站法？
（2）若兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？
（3）若兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？
（4）若站一排，且女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進行分析：第一步：讓女生甲站排頭或排尾，第二步：剩余6人站其它6個位置，進行全排列即可，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：第一步：從中間5個位置選2個站兩個女生，第二步：剩余5人站其它5個位置，將5人進行全排列即可，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：第一步：將5個男生進行排列，第二步：從6個空中選2個給兩名女生排列，求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，首先將7人站成一排進行全排列，由于女生甲在女生乙右方和左方的排法數(shù)目相同，由倍分法計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：
第一步：讓女生甲站排頭或排尾，有2種站法；
第二步：剩余6人站其它6個位置，共有$A_6^6$種站法．
由分步計數(shù)原理得，女生甲站兩端，共有$2×A_6^6=1440$種站法．
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：
第一步：從中間5個位置選2個站兩個女生，有$A_5^2=20$種站法；
第二步：剩余5人站其它5個位置，有A₅⁵=120種站法．
由分步計數(shù)原理得，兩個女生都不站在兩端共有A₅²A₅⁵=2400種站法．
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：
第一步：將5個男生進行排列，有A₅⁵種站法；
第二步：從6個空中選2個給兩名女生排列，有A₆²種站法．
由分步計數(shù)原理得，兩個女生不相鄰有A₅⁵A₆²=3600種站法．
（4）7人站成一排，有A₇⁷種排法，
由于女生甲在女生乙右方和左方的可能性相同，即排法數(shù)目相同，
故共有$\frac{{A}_{7}^{7}}{2}$=2520種站法．

點評 本題考查排列、組合的運用，涉及分類、分步計數(shù)原理原理的應(yīng)用，注意常見問題的處理方法．