Question

4．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐，求：
（1）三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；
（2）三棱錐A′-BC′D的體積．

Answer 1

分析 （1）求出三棱錐A′-BC′D的棱長為$\sqrt{2}$a，即可求出三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；
（2）利用割補法，即可求出三棱錐A′-BC′D的體積．

解答 解：（1）正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，則三棱錐A′-BC′D的棱長為$\sqrt{2}$a，表面積為4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{2}$a）²=2$\sqrt{3}$a²，正方體表面積為6a²，
∴三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值為$\sqrt{3}$：3；
（2）三棱錐A′-BC′D的體積為a³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a³=$\frac{1}{3}$a³．

點評 本題考查三棱錐、正方體表面積、體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．