Question

12．某中學教職工春季競走比賽在校田徑場隆重舉行，為了解高三年級男、女兩組教師的比賽用時情況，體育組教師從兩組教師的比賽成績中，分別各抽取9名教師的成績（單位：分鐘），制作成下面的莖葉圖，但是女子組的數(shù)據(jù)中有一個數(shù)字模糊，無法確認，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以a表示，規(guī)定：比賽用時不超過19分鐘時，成績?yōu)閮?yōu)秀．
（1）若男、女兩組比賽用時的平均值相同，求a的值；
（2）求女子組的平均用時高于男子組平均用時的概率；
（3）當a=3時，利用簡單隨機抽樣的方法，分別在莖葉圖兩組成績?yōu)椤胺莾?yōu)秀”的數(shù)據(jù)中各抽取一個做代表，設(shè)抽取的兩個數(shù)據(jù)中用時超過22（分鐘）的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）依題意，得$\frac{1}{9}（18+15+16+19+13+21+25+20+23）$=$\frac{1}{9}（18+16+15+19+$19+13+26+21+20+a），由此能求出a的值．
（2）設(shè)“女子組的平均用時超過男子組平均用時”為事件A，依題意a=0，1，2，…9，共有10種可能，由此能求出女子組的平均用時超過男子組平均用時的概率．
（3）成績?yōu)椤胺莾?yōu)秀”即為用時超過19分鐘，男子組平均用時超過19分鐘的有4個，超過22分鐘的有2個，女子組平均用時超過19分鐘的有3個，超過22分鐘的有2個，從而X的所有可能值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學期望．

解答 解：（1）依題意，得：
$\frac{1}{9}（18+15+16+19+13+21+25+20+23）$=$\frac{1}{9}（18+16+15+19+$19+13+26+21+20+a），
解得 a=3．
（2）設(shè)“女子組的平均用時超過男子組平均用時”為事件A，
依題意a=0，1，2，…9，共有10種可能，
由（1）可知，當a=3時男女兩組平均用時相同，
所以當a=4時女子組的平均用時超過男子組平均用時，共有6種可能，
所以女子組的平均用時超過男子組平均用時的概率為$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
（3）成績?yōu)椤胺莾?yōu)秀”即為用時超過19分鐘，男子組平均用時超過19分鐘的有4個，超過22分鐘的有2個，
女子組平均用時超過19分鐘的有3個，超過22分鐘的有2個，
所以X的所有可能值為0，1，2，
則$P（{X=0}）\frac{C_2^1C_1^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{6}$，$P（{X=1}）\frac{C_2^1C_1^1+C_2^1C_2^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{2}$，$P（{X=2}）\frac{C_2^1C_2^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{3}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

所以X的數(shù)學期望$EX=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．