Question

1．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，已知a₁=1且a₁=b₁，a₂=b₂，a₅=b₃
（1）求等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$，求數(shù)列{T_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$，由d≠0，能求出等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=1且a₁=b₁，a₂=b₂，a₅=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$，由d≠0，解得d=2，q=3，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
b_n=3^n-1．
（2）T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．