Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，若a_n+1=2a_n+1，則通項(xiàng)a_n=-1+3•2^n-1，若a_n+1=2a_n+3ⁿ，則通項(xiàng)a_n=3ⁿ-2^n-1．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=2a_n+1變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進(jìn)而數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，通過(guò)對(duì)a_n+1=2a_n+3ⁿ變形可知a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），進(jìn)而數(shù)列{a_n-3ⁿ}是以-1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=3•2^n-1，
∴a_n=-1+3•2^n-1；
∵a_n+1=2a_n+3ⁿ，
∴a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），
又∵a₁-3¹=2-3=-1，
∴數(shù)列{a_n-3ⁿ}是以-1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-3ⁿ=-2^n-1，
∴a_n=3ⁿ-2^n-1；
故答案為：-1+3•2^n-1，3ⁿ-2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．