Question

11．記f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，又記f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，則f₂₀₁₅（x）=（　　）

• A． -$\frac{1}{x}$
• B． x
• C． $\frac{x-1}{x+1}$
• D． $\frac{1+x}{1-x}$

Answer 1

分析 根據(jù)遞推公式f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可以遞推出前幾項(xiàng)，能不完全歸納出周期T=4，所以f₂₀₁₅（x）=f₃（x），從而得出答案．

解答 解：由題意知
∵f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x），
 f₂（x）=f（f₁（x））=-$\frac{1}{x}$；
 f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x-1}{x+1}$；
 f₄（x）=f（f₃（x））=x；
 f₅（x）=f（f₄（x））=$\frac{1+x}{1-x}$；
…
歸納出規(guī)律：f_k（x）以周期T=4的周期數(shù)列，
∴f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=$\frac{x-1}{x+1}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由遞推公式，遞推出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出一定的規(guī)律，即周期為T=4的周期數(shù)列，對(duì)學(xué)生的不完全歸納法的思想能力要求比較高．