Question

20．若a＞b＞0，求證：a+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值為3．

Answer 1

分析 本題可為三個數的和，可進行變形a+$\frac{1}{b（a-b）}$=a-b+b+$\frac{1}{b（a-b）}$，用基本不等式求出最小值，即可證明結論．

解答 證明：∵a＞b＞0，
∴a+$\frac{1}{b（a-b）}$=a-b+b+$\frac{1}{b（a-b）}$≥$\root{3}{（a-b）b•\frac{1}{b（a-b）}}$=3
當且僅當a-b=b=$\frac{1}{b（a-b）}$時取等號，
∴a+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值為3．

點評 本題考查三元的基本不等a+b+c≥$3\root{3}{abc}$在求解最值中的應用，解題的關鍵是配湊基本不等式的應用條件．