Question

1．若x，y滿足（x-1）²+（y+2）²=4，則2x+y的最大值和最小值分別為2$\sqrt{5}$和-2$\sqrt{5}$．x²+y²的最大值和最小值分別為9+4$\sqrt{5}$和9-4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意方程求得圓的參數方程，然后利用三角函數最值的求法得2x+y的最大值和最小值．x²+y²表示（x，y）到原點的距離的平方，即可求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：設x=1+2cosα，y=-2+2sinα，則
2x+y=2+4cosα-2+2sinα=4cosα+2sinα=2$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴2x+y的最大值和最小值分別為2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$；
x²+y²表示（x，y）到原點的距離的平方，
∵圓心（1，-2）到原點的距離為$\sqrt{5}$，
∴x²+y²的最大值為（$\sqrt{5}$+2）²=9+4$\sqrt{5}$，最小值為（$\sqrt{5}$-2）²=9-4$\sqrt{5}$，
故答案為：2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$；9+4$\sqrt{5}$，9-4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓的簡單幾何性，考查了橢圓參數方程的應用，訓練了三角函數的最值的求法，是中檔題．